Clube de Geometria: janeiro 2008

Geometria e as mulheres

Woman teaching geometry, uma ilustraçao medieval (autor desconhecido) em que uma figura feminina demonstra os postulados da geometria euclidiana.

Euclides em http://clubedegeometria.blogspot.com/2008/01/personagens-da-geometria.html

Composições da história da Geometria

Com base no tema da uma das aulas assistidas, “História da Geometria”, os alunos elaboraram composições plásticas bidimensionais, a partir de elementos da geometria elementar de um determinado período histórico, personagem ou assunto. Estes elementos foram primeiro registados em folhas de papel de desenho e posteriormente passados para telas.
Com esta actividade pretendeu-se que os alunos compreendessem a geometria no espaço, como princípio organizador de formas e, a partir de uma realidade imaginada, reconhecessem a experimentação plástica como expressão de gostos pessoais.
Acrílico sobre tela 30x30.

João Banha inspira-se no rectângulo de ouro da antiguidade clássica e cria uma métrica ortogonal pintada com cores frias. Modrian é um dos seus pintores preferidos...

André Arnaud cria uma imagem de arcos entrelaçados inspirando-se nos arcos ogivais do período gótico. Predomina a cor azul.

João Varela homenageia Pitágoras. Inspirado numa demonstração gráfica do conhecido teorema, cria uma imagem que compila os principais elementos: triângulo e quadrado. O preto e o vermelho predominam.

Ricardo Sarmento constrói uma relação vibrante entre cores quentes e formas acutilantes que dialogam com semi-círculos.

António Pontes divide uma tela preta com uma faixa de figuras triangulares. Pequenos jogos cromáticos compõem as figuras que combinam preto, amarelo, vermelho e laranja.

Cartaz de Rectas e Planos

Um cartaz com dimensão de um A1 colocado na parede da nossa sala.

Personagens da Geometria

Idade Média até ao séc. XIII

Na Idade Média, Deus – o Criador do Universo – era o traçador de círculos.

O Criador como Geómetra e Arquitecto

in Bible Moralisée, Viena, Ca 1250

O círculo continuava a ser sinónimo de um desígnio superior e de perfeição, conhecendo terreno fértil na Idade Média – um dos períodos históricos com sentido teológico muito vincado.

Se por um lado Euclides era o ídolo para os pedreiros medievais, também o era Villard de Hounnecourt.

Euclides versus Villard de Hounnecourt

Enquanto o primeiro deixava o legado dos “13 Elementos”, o segundo, numa teoria oposta faz a mais importante colectânea de desenhos do período médio, de um notável conhecimento geométrico que conta com vários desenhos de arquitectura, motivos religiosos, peças de mobiliário, desenho de máquinas.
Alguns dos seus esboços:

O período gótico é também aquele que nos confronta com as maiores catedrais, onde as esguias formas geométricas tentam ascender ao divino.

Um exemplo disso é a Catedral de Colónia, iniciada em1248, pela ordem do arcebispo Konrad von Hochstaden e projectada pelo mestre Gerhard. Ao lado, a imagem da Gare de Oriente, projectada em 1998 pelo arquitecto Santiago Calatrava, que materializa algumas influências deste período.

No traçado das catedrais procura-se uma relação formal simétrica, traduzida em formas triangulares e quadrangulares combinadas; pentágonos ou hexágonos inscritos e linhas curvas.

Ilustram-no as seguintes figuras:

Renascimento séc. XV

O Renascimento foi um movimento artístico que teve início em Itália no séc. XV, cujo nome significa recomeço. Estávamos numa altura de grandes progressos científicos marcados pela sobreposição da razão em relação à metafísica havendo por conseguinte grandes inovações no campo da ciência, tecnologia e da arte. Há uma descida do sagrado ao profano, e conforme se começam a pintar pessoas, lugares e não anjos vai surgindo a perspectiva linear.

Filippo Brunelleschi
Igreja de San Lourenzo, Florença, 1421-60

Efectivamente a força visual da perspectiva linear, resulta da possibilidade de relacionar a posição do observador com a do objecto, criando um efeito psicológico de escala, aproximando-se daquilo que o observador vê com a sua retina. O que é actualmente muito bem explorado, por exemplo, no cinema.

Carlo Maderno
Cúpula da Basílica de S. Pedro, 1606

Alguns dos geómetras renascentistas:

Filippo Brunelleschi (1377-1446) – Um dos fundadores da geometria moderna constrói um mecanismo designado por “Tavolleta”, que permite representar o objecto segundo regras perspécticas rigorosas.

Leon Baptista Alberti (1404 – 1472) – Tratadista que define regras de aplicação da perspectiva geométrica à pintura.

Piero della Francesca (1420 – 1492) – Escreve o primeiro tratado de perspectiva “De Prospectiva Pingendi”.

Leonardo Da Vinci (1452 – 1519) – No seu Tratado de Pintura defende uma pintura livre de rigidez geométrica. Graciosidade, criatividade luz e cor são incompatíveis com “matemáticas”.

Dürer (1471 – 1528) – Um dos últimos pintores geómetras. Considerado o percursor de Monge, cria o perspectógrafo, cujo resultado será mais tarde aplicado ao mecanismo da máquina fotográfica.

Joannes Kepler (1571- 1630) – Recupera o estudo dos sólidos platónicos através de um modelo de sistema planetário que descreve as distâncias orbitais dos 6 planetas conhecidos na altura.

Desargues (1591 – 1661) – Impulsionador da Geometria Projectiva, aplica as leis da perspectiva às cónicas de Apolo de Perga.

Na perspectiva linear há uma série de regras que ilustram a relação entre os objectos dispostos em diferentes profundidades, reguladas por grandeza, distancia, forma e inclinação, luminosidade, profundidade, cor, etc.

Ilustram-no as seguintes imagens:

Piero della Francesca
Flagelação de Cristo, 1445 (?)

Carlo Crivelli
O anúncio de Santo Emídio , 1486

Johannes Vermeer
O Astrónomo , 1668

Johannes Vermeer

O Geógrafo , 1668

Gaspard Monge

“Representar com exactidão, sobre desenhos que só têm duas dimensões, objectos que na realidade têm três e que são susceptíveis de uma definição rigorosa”

Gaspard Monge (1746-1818) – Nasce em Borgonha.
É um importante matemático da revolução francesa e pesquisador de física e química, trabalhando inclusive com Lavoisier. Aos 17 anos coordena um curso de física no Collège de La Trinité.Vivia-se num contexto marcado por um forte cariz militar (Revolução francesa e Industrial) não admira que as primeiras aplicações da geometria de Monge estivessem vinculadas à própria engenharia militar. Até lá tudo era feito com intermináveis cálculos aritméticos. Desta forma Monge simplifica todo esse processo criando um referencial geométrico constituído por um plano vertical e horizontal no qual a figura é projectada segundo rectas perpendiculares.

in MASSIRONI, Manfredo (1982). Ver pelo Desenho – aspectos técnicos, cognitivos, comunicativos. Lisboa: Edições 70

Assim, se a perspectiva linear procura agarrar o objecto na sua totalidade, é agora substituída por uma desagregação do objecto, numa soma de imagens que o reflectem em dois ou três planos perpendiculares entre si. Da compilação de todos os seus esboços e apontamentos nasce, em 1795, o “Tratado de Geometrie Descriptive”.

Actualidade

Se analisarmos uma árvore em que do seu tronco nascem dois ramos, que por sua vez cada um deles se reparte em ramos menores e assim por diante, contendo cópias de si mesmo, recebem o nome de fractais. “Fractus” – descontínuo.

Benoit Mandelbrot (1924) matemático francês, propôs este novo conceito de geometria que ficou conhecida como geometria fractal. O objectivo dessas novas famílias de objectos foi minimizar as lacunas deixadas pela geometria Euclidiana no que diz respeito às formas existentes na natureza.
Enquanto que todas estas geometrias tradicionais se limitam a descrever apenas a superfície e curvas lisas, vários outros elementos da natureza, como montanhas, árvores entre outros, possuem irregularidades que se dizem fragmentadas.
Um livro base para o estudo da geometria fractal foi escrito pelo próprio Mandelbrot, chamado: The Fractal Geometry of Nature (1977).

Exemplos de fractais:

Por outro lado temos as novas técnicas de representação, como as TIC e o Desenho Assistido por Computador (CAD) que incidem substancialmente numa geometria construtiva e geradora de formas.

Vincent Callebaut
The 8 Lighthouses of the Light Rail transit, Port Louis, 2004