Clube de Geometria

Geometria no Teatro

2008-08-24T19:03:00.007+01:00

A Geometria dos Sonhos

Companhia de Teatro La Casa Incierta/Espanha

A Geometria dos Sonhos é um espectáculo de Teatro para bebés que conta a história da metamorfose de uma pedra que deseja ser núvem. Os espectadores são convidados a entrar num espaço geométrico com uma estrutura pentagonal, para descobrir e decifrar sete histórias que se escondem em sete candeeiros criados pelo artista António Catalano. Um caminho sem palavras através dos mapas do nosso corpo, que nos aproxima de mitos milenários...

De 9 a 12 de Outrubro no Centro Cultural de Belém

http://www.lacasaincierta.com/

http://www.ccb.pt

Geometria e Poesia Visual

2008-05-18T23:03:00.003+01:00

Ernesto Melo e Castro (1932), poeta e ensaísta, realiza em 1993, o videopoema "Sonhos de Geometria", de 30 minutos, dividido em cinco partes. Melo e Castro teve a ideia pioneira de gerar caracteres para produzir poemas animados, pensados especificamente para veiculação na televisão.

Geometria e Fotografia

2008-05-18T23:02:00.007+01:00

Hiroshi Sugimoto, fotógrafo japonês conhecido pelas suas séries "Oceans" e "Theatres" fotografa as "Conceptual Forms", utilizando modelos de gesso feitos a partir de algoritmos matemáticos.

Surface 0008, 2004

Screw, 2004

Diagonal Clebish Surface Cubic with 27 lines

Conic Surface or Revolution with constant negative curvature

Helicoid Minimal Surface, 2004

Kuen's Surface - A Surface with constant negative curvature

Mathematical Form Surface 0002, 2004

Geometria e Escultura / Instalação

2008-05-18T23:02:00.004+01:00

A instalação do artista mexicano Damián Ortega, lembra as axonometrias explodidas dos manuais de contruções e as axonometrias utilizadas no desenho arquitectónico rigoroso.

"Cosmic Thing", 2002
Galeria D'Amelio Terras, em Nova Yorque.

"Miracolo Italiano", 2005

Casa do Castelhano, Caldeira das Lajes

Rinus Roelofs cria uma escultura que lembra os quadrantes e octantes da Geometria Descritiva

Outras superfícies geométricas:

Isocaedro de Richard Sweeney

Solstice, 1985, Barnett Plaza

Charles O. Perry

Superfície geométrica de Rinus Roelofs

Geometria e o número Zero

2008-05-18T23:01:00.007+01:00

A história do zero é uma história muito antiga, com raízes na matemática, milhares de anos antes da 1ª civilização, muito antes da escrita e da leitura. É um conceito oriental, nascido no crescente fértil do actual Iraque, tendo origem na maneira de contar babilónica, através do auxílio do ábaco. Chega ao Ocidente pelo Islão e tem raízes hindus e árabes. O nome indiano era sunya; o nome árabe era sifr; até chegar aos eruditos ocidentais que o transformaram numa palavra que soasse ao latim – zephirus. Os matemáticos chamam-na de cifra.
Mas hoje aquilo que nos parece tão natural, foi ao longo de gerações encarada como uma ideia estranha e assustadora com perigosas propriedades matemáticas que destruíam a lógica e destruíam o mundo. Um quebra-cabeças dos grandes matemáticos, físicos, filósofos, até hoje.

Se nos reportarmos para o pensamento matemático comum, o seu início está ligado à necessidade dos pastores contarem ovelhas e na necessidade de registar propriedades e a passagem do tempo. E como nenhuma destas tarefas requer o zero; as civilizações funcionaram perfeitamente bem durante milénios e sobreviveram sem ele. No fundo ninguém precisava de registar zero ovelhas ou contar zero crianças e foi por esta razão que as pessoas toleraram a ausência do zero durante tanto tempo, não era preciso um número para expressarem a falta de qualquer coisa.

No campo das artes:

Antes do séc. XV, as pinturas e desenhos eram na sua grande parte planos sem vida. As imagens eram distorcidas e bidimensionais e mesmo os melhores artistas não conseguiam desenhar cenas realistas. Foi o arquitecto Filippo Brunelleschi (1377 – 1446) quem primeiro demonstrou o poder do zero infinito, em 1425, através do seu desenho do Baptistério, no qual tudo converge para um ponto de fuga. Tudo recua, avança, diminui ou aumenta. No fundo o zero no centro da pintura contém uma infinidade de espaço, associando-se, por sua vez, ao infinito. Será este ponto um todo ou um nada?

in SEIFE, Charles (2000). Zero - A bibliografia de uma ideia perigosa. Lisboa. Gradiva - Publicações, L.da.

Zero, esse nada que é tudo.
Laisant

Fora esse grande Todo que me dá cabo da paciência! Viva o Zero, que me deixa em sossego!
Victor Hugo

Quem? O infinito? Diz-lhe que entre. Faz bem ao infinito estar entre gente.
Alexandre O’Neill

Geometria e Multimédia

2008-05-18T23:00:00.007+01:00

No campo da Multimédia a geometria conta com várias ferramentas de sotfware didáctico que auxiliam o processo de aprendizagem do aluno:

AEIOU (WINDOWS) - Software de geometria descritiva disponível através da Associação de Professores de Geometria Descritiva

Cabri-Geometry: (DOS) software de construção em geometria desenvolvido pelo Institut d'Informatiqe et de Mathematiques Appliquees em Grenoble (IMAG. É um software de construção que nos oferece “régua e compasso electrónicos”, sendo a interface de menus de construção em linguagem clássica da Geometria. Os desenhos de objectos geométricos são feitos a partir das propriedades que os definem e mantêm estabilidade sob o movimento.

Sketchpad: (WINDOWS) software de construção em geometria desenvolvido por N. Jackiw e S.Steketee comercializado por Key Curriculum Press. É um software de construção que nos oferece “régua e compasso electrónicos”, sendo a interface de menus de construção em linguagem clássica da Geometria. Os desenhos de objectos geométricos são feitos a partir das propriedades que os definem e mantêm estabilidade sob o movimento. É possível converter seus arquivos em linguagem java, de maneira que sejam disponibilizados na rede.

Dr Geo: (DOS) software de construção em geometria desenvolvido por Hilaire Fernande (Grenoble) e que nos oferece “régua e compasso electrónicos”, sendo a interface de menus de construção em linguagem clássica da Geometria. Os desenhos de objectos geométricos são feitos a partir das propriedades que os definem e mantêm estabilidade sob o movimento.

Geoplan : (WINDOWS) software de construção em geometria que trabalha os conceitos analíticos da geometria em um sistema de coordenadas cartesianas. Desenvolvido pelo Centre de Recherche et d'Expérimentation pour l'Ensignement des Mathématiques (CREEM)

Régua e Compasso : (WINDOWS) software de construções geométricas com régua e compasso.

Geometria Descritiva: (DOS)software de construção em geometria descritiva, que trabalha em um sistema projectivo; em 3D. Produzido por V.Teodoro e F.Clérigo, da Universidade Nova de Lisboa.

Euklid: (WINDOWS) software de construções geométricas com régua e compasso, e geometria dinâmica. Semelhante ao Cabri e ao Sketchpad.

Wingeom : (WINDOWS) software free que permite construções geométricas bidimensionais e tridimensionais.

S-Logo: (WINDOWS) é uma linguagem de programação de fácil compreensão e que possibilita que o aluno desenvolva o raciocínio, desenvolvendo seu próprio programa. É muito bom para o ensino de geometria e pode ser usado em todos os níveis escolares.

Poly: (WINDOWS)é uma criação Pedagoguery Software, que permite a investigação de sólidos tridimensionalmente (com possibilidade de movimento), dimensionalmente (planificação) e de vista topológica. Possui uma grande colecção de sólidos, platónicos e arquimedianos entre outros.

Download dos programas através do link
http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/tecmat/software/softw.htm

No campo lúdico, para os mais jovens, o jogo "Geometry Wars" apresenta um curioso cenário de elementos geométricos que nos lembram os fractais de Mandelbrot.

Geometria e o Cinema

2008-05-18T22:56:00.008+01:00

A relação entre geometria e cinema encontra na perspectiva linear um poderoso e eficaz meio de expressão, através do qual a relação entre a posição do observador e a do objecto cria um efeito psicológico de escala que caracteriza muitos dos planos que observamos no grande ecrã. Por outro lado, os novos mídia vieram conquistar o espaço deixado pela figuração simples da perspectiva linear, que vê na fotografia, cinema e software informático um novo meio de expressão.

Berengo Gardin,Veneza, 1960

Além da perspectiva linear encontramos uma relação entre a geometria e o cinema no filme "The Battleship Potemkin", 1925 de Sergei Eisenstein, onde o realizador utilizou a Razão de Ouro para marcar o início das cenas importantes da trama, medindo a razão pelo tamanho das fitas da película. O filme é dividido em cinco partes e é realizado para comemorar os vinte anos da Revolução Russa. Algumas imagens:

clique na imagem para ver o filme

Em 1997, Vincenzo Natali realiza o "Cubo", aliando uma história de ficção e suspense a intermináveis cálculos matemáticos que libertarão para sempre, os prisioneiros de uma clausura cúbica. Destes prisioneiros fazem parte um polícia, um ladrão, uma matemática, uma psicóloga, um arquitecto e um jovem autista que são misteriosamente presos num labirinto de alta tecnologia. Sem comida nem água, eles precisam de encontrar um meio de sair do local. Precisam também de tomar cuidado para não accionar armadilhas letais, que surgem nos estranhos cubos.

Porquê estudar Geometria?

2008-05-18T22:36:00.002+01:00

Os estudantes da Grécia Antiga e os estudantes de hoje tediam (em) a agarrar-se à noção de que a geometria é inútil. Como afirmou Sir Thomas Heath "Não obstante a influência de Platão, em geral a atitude das pessoas cultas, perante a matemática, não era diferente, na sua altura, do que é no presente,". Na "República" de Platão, ficamos a saber que os estudantes, na altura, duvidavam da importância de estudar geometria. O filósofo grego Teles mencionou a geometria como sendo uma das pragas para os jovens. Da mesma forma, Isócrates afirmou que a maioria das pessoas achava o estudo da geometria ocioso... "uma vez que não tem utilidade em compromissos públicos ou privados"; a maior parte das vezes ficam esquecidos, justamente por não serem necessários na nossa vida diária e activa..., está completamente fora das necessidades de todos os dias.
Isócrates, no entanto, acreditava que, como escreveu Heath "...o estudo desses assuntos ao seu melhor nível, leva um jovem a manter a sua atenção, sem permitir que a mente vagueie; então, praticando desta maneira e tendo o seu engenho afiado, o jovem será capaz de aprender assuntos mais importantes com maior facilidade e rapidez.
Os estudantes de hoje sentem mais ou menos o mesmo. Imaginam o que uma "boa geometria" pode fazer por eles e quando são interrogados respondem algo do género - estudar geometria permite às pessoas pensar com mais lógica e abre a mente para um novo nível de pensamento e capacidade de raciocínio.

O estudo do desenho geométrico dará ao aluno oportunidade de desenvolver o raciocínio lógico-dedutivo, além de despertar a criatividade. Independentemente da área a que se vá dedicar como futuro profissional. Por outro lado, quando se manuseiam os instrumentos, desenvolve-se grandemente o sentido de organização; com frequência o estudante então experimenta a sensação de realização, ao ver as ideias que possibilitam a construção, serem concretizadas no papel.
Especificamente os que pretendem orientar os seus estudos para as áreas de Engenharia ou Arquitectura terão no desenho geométrico o instrumental necessário ao desenho projectivo.

in
http://www.educ.fc.ul.pt/icm99/icm38/historia.htm
http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/introducao/index.html

Work in Progress

2008-05-17T23:20:00.000+01:00

Geometria, Som e Música - Introdução

2008-05-11T23:31:00.001+01:00

Será possível escutar geometrias quando se ouve música? Da mesma forma, será possível ler sons numa peça geométrica? E será possível ouvir a forma de um tambor? Serão estes os enigmas que lançam a disciplina da geometria em mais um desafio – a sua relação com o som e com a música. Desde os povos da antiguidade que a música é entendida como forma de magia e invocação, ainda hoje o seu efeito potencia interessantes viagens sonoras. Esta viagem tomará como passageira a geometria e será estudada segundo várias perspectivas. Debrucemo-nos naquilo que define som e música:

Som não é mais que energia em vibração transmitida pelo ar e recebida pela nossa membrana auditiva.
Música é uma sucessão de sons encadeados temporalmente e organizados segundo uma métrica precisa, ou se quisermos, um conjunto de vibrações baseadas em cálculos geométricos e proporções precisas.

Caméléon Pontique atribui a origem da música ao canto das aves; Lucrécio ao vento formado nas canas das plantações e Zarlino afirma que a sua origem está associada ao som da água. Da mesma forma, Jubal é considerado o inventor da música instrumental, o pai de todos os que tocam lira, que ao escutar os sons produzidos por martelos encontra na música as proporções dos seus intervalos.

Ilustração de Franchinus Gafurius

1492

Pitágoras e as cordas

2008-05-10T23:31:00.000+01:00

A primeira grande referência na ligação entre a geometria e a música surge ilustrada na seguinte figura que atribui a Pitágoras (582a.C.- 507a.C) a relação entre uma qualidade (som) numa quantidade (duração).

Usando a razão de números inteiros – “Todas as coisas são números inteiros” – descobre que o comprimento de uma corda vibratória reduzido à metade produz o dobro da frequência, ou seja, quando um músico pressiona uma corda exactamente a meia distância do seu comprimento, produz uma oitava. Por conseguinte se essa metade for reduzida obteremos outra frequência maior. Estava assim descoberto o “Milagre da oitava” – a relação de proporção que habitava o mundo e as órbitas planetárias; a expressão mais simples e profunda da relação espacial entre o espírito e a matéria; o padrão da unidade que inspirará toda a música erudita ocidental. E do mesmo modo que uma corda de um instrumento gera música, também a geram os padrões geométricos pois são descritos por relações simples entre números inteiros.

Rafael Sanzio

"A Escola de Atenas", 1509

Pitágoras e a escola de Atenas

2008-05-09T23:30:00.000+01:00

É também da escola pitagórica que parte a divisão das Sete Artes Liberais da futura Idade Média, em duas categorias, Trivium e Quadrivium:

Trivium : gramática, dialéctica e rectórica.

Quadrivium: Aritmética, Geometria; Música e Astronomia.

Através do Quadrivium (que incluía as grandezas estáticas ou dinâmicas) percebemos que a geometria e música pertenciam à mesma área de conhecimento.

No período medieval a música é definida como “numerus relatus ad sonum”, isto é, número associado ao som.

Música das Esferas

2008-05-08T23:30:00.000+01:00

Parte de Pitágoras a distinção entre 3 tipos de música que se mantiveram durante toda a I.M: a música instrumentalis; a música humana e a música mundana ou cósmica. Será a partir desta que surgirá a mais primorosa música, de sons perfeitos livres de ruídos, tão perfeita que o ser humano será incapaz de a ouvir. Uma música que não acaba, uma vez que o movimento dos astros é infinito.

Andreas Cellarius

"Harmonia Macrocósmica", 1660

A música cósmica que de acordo com Philo de Alexandria Moisés teria ouvido quando recebeu as tábuas da lei no Monte Sinai, e a qual Santo Agostinho acreditava que os homens ouvem na hora da morte.

Da mesma forma que a corda de uma lira depende do seu comprimento, cada planeta, considerado um ser vivo, único e inteligente produz um tom consoante a sua órbita e posicionamento em relação à Terra. E todos eles produzem uma orquestra racional.

O Divino Monocórdio

2008-05-07T18:44:00.000+01:00

Robert Fludd

O Divino Monocórdio

Robert Fludd (1574 – 1637), filósofo inglês, (um dos maiores expoentes na explanação das harmonias musicais; que juntamente a Pitágoras e Keppler praticamente cunha o termo “Música das Esferas”) ilustra um instrumento de uma só corda que faz a ponte entre o céu e a terra, e que dispõe os astros segundo regras da harmonia musical. Em torno do instrumento há inúmeros semi-círculos onde estão inscritas as várias forças da natureza. A nota de cada planeta é associada a uma divisão da corda do monocórdio. De uma nuvem sai uma mão que aperta a cravelha do instrumento elevando as frequências à medida que aperta a corda. O som associado a cada planeta será tão mais agudo quanto mais distante estiver da terra.

Se existisse um monocórdico cósmico gerador de todas as vibrações possíveis, ouviríamos frequências que se misturavam com microondas, ondas de televisão, rádio, etc.

Harmonices Mundi

2008-05-06T18:51:00.000+01:00

Joannes Kepler "Mysterium Cosmographicum", 1596

Cubo 6 faces – Vénus – Sustenido
Tetraedro 4 faces – Mercúrio – Oitava e Terça Menor
Octaedro 8 faces – Marte – Quinta
Dodecaedro 12 faces – Júpiter – Terça Menor
Icosaedro 20 faces – Saturno – Terça Maior
Terra – Meio Tom

Joannes Kepler (1571 – 1630) ilustra a mais emblemática representação do universo através dos sólidos platónicos, aos quais se junta uma partitura musical que lhes confere não um único som, como defendia Pitágoras, mas uma melodia contínua que variava entre o som mais grave e mais agudo consoante a distância relativa ao Sol. Quanto mais distantes do Sol, mais lentos e mais graves.
A melodia entoada pela terra seria meio-tom, a partir do qual Kepler associou aos tons Mi – Fá – Mi. A guerra dos 30 anos, levou-o a pensar que a Terra (o grande ser vivo), produzia um lamento constante, em nome da Misere e Fami (Miséria e Fome) que reinavam na altura.

“O movimento dos céus, não é mais que uma eterna polifonia” – Kepler in Harmonices Mundi, 1619.

O Panteão de Roma

2008-05-05T19:02:00.000+01:00

Lembrando a antiga tradição egípcia que considera “Tudo o que está em cima é como o que está em baixo, e o que está em baixo é como o que está em cima”, observamos o Panteão de Roma, que na sua cúpula congrega um potencial simbólico, onde a divisão em 28 meridianos se assemelha aos ciclos lunares. O óculo central corresponde ao Sol.

Uma espécie de sinfonia celeste se considerarmos a perspectiva de Goethe “A geometria é música congelada”.

Giovanni Panini

Panteão de Roma, séc. XVIII

Walter Murch

Cúpula do Panteão de Roma

O intervalo de quinta no Templo de Horus e em figuras geométricas

2008-05-04T19:17:00.000+01:00

Do octaedro de Kepler que corresponde ao planeta Marte e por conseguinte a um intervalo musical de quinta, entramos no templo egípcio de Horus em Edfu cuja altura e largura correspondem a 2:3 que define o intervalo pretendido.

Templus de Horus, Edfu - Egipto

Uma quinta também presente nas formas geométricas do pentágono, pentagrama e rectângulo.
A quinta representa 2:3 – corresponde aos lados de um triângulo de um pentagrama;
A quarta representa 3:4 – corresponde aos lados de um triângulo de um pentágono;
A oitava representa 1:2 – corresponde a um rectângulo composto por dois quadrados dividida por uma diagonal.

Intervalo de quinta 2:3 Intervalo de quarta 3:4 Intervalo de oitava 1:2

O que tem em comum a Catedral de Notre Dame e a 5ª Sinfonia de Beethoven

2008-05-03T19:50:00.000+01:00

É na antiguidade que se funda a ideia de que os mesmos rácios agradáveis ao ouvido também o serão para os olhos. Estes rácios não só harmonizam as formas arquitectónicas como também a própria música.
A doutrina da música das esferas foi transmitida ao longo da Europa Medieval encontrando a sua expressão mais gloriosa na arquitectura das grandes abadias e catedrais, conscientemente concebidas para obedecer às proporções da harmonia musical e geométrica. Uma dessas catedrais é Notre Dame, construída de forma a obedecer a princípios de geometria sagrada, harmónica e acústica.

Maurice de Sully

Catedral de Notre Dame, 1163

Beethoven

Excerto da 5ª Sinfonia

Se Notre Dame contempla a relação proporcional de Phi, também o encontraremos na 5ª de Beethoven.
O facto de que algo importante está neste ponto, dividindo a peça musical ou parte dela na proporção de ouro, parece ter um efeito no subconsciente do ouvinte. Aqui a música atinge a perfeição. Segundo o autor Derek Haylock, a abertura da 5ª de Beethoven ocorre exactamente no ponto de ouro da peça 0,618034.
Assim a proporção geométrica de Notre Dame corresponde à música no seu ponto 0.618

A Música na Arquitectura de Le Corbusier

2008-05-02T20:30:00.000+01:00

O pavilhão Philips inaugurado em Bruxelas no ano de 1958 será possivelmente um dos exemplos mais paradigmáticos de diálogo entre a música e forma arquitectónica. A construção de superfícies derivadas da forma hiperbólica parabolóide compõem esta estrutura orquestral trabalhada com o ritmo, dinâmica, timbre e altura.
Em paralelo, Edgar Varèse elabora o Poème Electronique baseado nas linhas estruturais do Pavilhão.

Le Corbusier - Pavilhão Philips, 1958, Bruxelas

Edgar Varèse "Poème Électronique"

O compositor Iannis Xenakis, trabalha a “Concrete PH”, uma composição inspirada nas Parábolas e Hipérboles do Pavilhão Philips, utilizando como fonte sonora sons oriundos de uma fábrica de carvão, aplicando pincípios matemáticos e arquitectónicos redundando em certas alterações na densidade das massas sonoras e criando grandes fluxos de curvas frequenciais. Outra das suas composições conhecidas inspiradas no Pavilhão é “Metástasis”.

Iannis Xenakis

"Metástasis"

A Música na Arquitectura de Steven Holl

2008-05-01T21:11:00.000+01:00

Paul Klee

Análise de uma partitura

Steven Holl

Casa Stretto, Dallas, 1989-91

A Casa Stretto, Dallas, Texas, 1989-91 inspira-se na composição musical para cordas percussão e celesta do compositor Bela Bartok. Os quatro movimentos da peça estabelecem uma distinção ente o pesado – percussão – e o leve – corda.
Do mesmo modo que a música alcança a sua materialidade através do material, som e tempo, a arquitectura da Casa Stretto irá fazê-lo através do material, luz e forma.
Este edifício está estruturado em quatro sectores, assim como a composição de Bartok, constituídos por 2 módulos: os pesados e ortogonais elementos de pedra que representam a percussão, e o leve e curvilíneo que representa as cordas.

Planta e Alçado

A casa de hóspedes, separada, apresenta uma morfologia inversa: planta curva e coberturas ortogonais, numa inversão similar à produzida no tema do 1º movimento da peça de Bartók.

Casa dos hóspedes

Planta e Alçado

Notação musical: um diálogo entre linhas e pontos

2008-04-30T23:29:00.000+01:00

Os sistemas de notação musical padronizados na música ocidental, conheceram algumas transformações até se estabelecerem com as formas actuais. A notação mais antiga data por volta do 3º milénio a.C. sendo expressa através de símbolos e letras. Os símbolos cuneiformes da antiga mesopotâmia, evoluíram para neumas na Idade Média, escritos segundo o sentido de uma linha horizontal. Seguiu-se a representação de notas com distâncias variáveis segundo uma única linha horizontal que permitiram representar as alturas.
É com o impulso do monge beneditino Guido d’Arezzo (995 – 1050) que se estabelecem quatro linhas com notas fixadas através da notação quadrada ou romana e na notação coral alemã.
No séc. XVIII generaliza-se a pauta de 5 linhas – pentagrama - adoptando-se as notas circulares que constituem o padrão da notação ocidental.

Exemplos de notação quadrada

A evolução da grafia musical encontra actualmente a sua expressão máxima nas tecnologias digitais, através das quais as representações ganham um novo referencial espacial.
Dimitri Tymoczko cientista da Unviersidade de Princeton, EUA cria uma forma de visualização, um mapa, que representa o espaço das possibilidades musicais. Desenvolve um modelo geométrico geral, no qual qualquer acorde concebível seja representado por um ponto no espaço, ligado a outros através de linhas.
Compara a interacção de um piano com a interacção de um espaço não-euclidiano, fundamentado na ideia de que existem maneiras diferentes de tocar uma nota.

Notação musical em Wassily Kandinsky

2008-04-29T23:28:00.000+01:00

Kandinsky funda um profundo desejo espiritual na sua arte. Fascinado pelo simbolismo e psicologia da cor, relaciona o acto de pintar com a música, escrevendo
“As cores são a chave, os olhos e o machado; a alma é o piano com as cordas”
A partir de formas circulares, quadrangulares, triangulares, ou através da linha, pinta cores elementares: vermelho, amarelo, azul e representa a influencia que a música exerce na arte abstracta. A música, abstracta por natureza, evoca não um mundo exterior, mas os sentimentos interiores da alma humana.

Wassily Kandinsky

Composição VII, 1913

O Stradivarius

2008-04-28T23:27:00.000+01:00

A relação entre o Stradivarius e a geometria também tem sido objecto de estudo. A sua construção obedece a regras geométricas muito precisas.

É construído segundo proporções áureas que inscrevem o seu comprimento e largura num rectângulo de ouro; a forma da voluta obedece à espiral áurea.

O som e a forma

2008-04-27T23:27:00.003+01:00

Todos os objectos têm uma frequência ou conjunto de frequências que ressoam quando são tocadas e cada frequência associada a um objecto provoca um padrão vibratório específico.
A questão formulada por pelo matemático Marc Kac “Será possível ouvir a forma de um tambor” é materializada numa experiência da dupla de caos quântico – Alfredo Miguel de Almeida e Raul Óscar Vallejos – da Universidade do Rio de Janeiro.

A figura representa o relevo da membrana de um tambor fotografado num dado instante, resultando um padrão completamente regular.

Foram também realizadas pelos alunos de Buckminster Fuller experiências com ondas vibratórias cujo resultado se assemelha a sólidos platónicos.

Uma experiência feita com cristais numa superfície que emite vibrações sonoras

Algumas peças musicais

2008-04-25T23:25:00.004+01:00

Jorgen Hovelskov
"Harp", 1968

Uma cadeira que lembra a proa de um barco viking, associa o elemento linha às cordas musicais.

William Furlong

“Walls of Sounds”

William Furlong constrói dois paralelepípedos de 12m em aço criando uma instalação visual e sensorial. Os amplificadores criam uma passagem por um corredor sonoro onde é possível ouvir os sons gravados nos locais anteriores onde a peça esteve instalada.

Kurt Schmidt

“Ballet Mecânico”, 1923

O estudio de Kurt estava repleto de construções em cartão, arames, telas e madeira da altura de um homem, todos em forma geométrica elementar: círculos, triângulos, quadrados, rectângulos, trapézios e naturalmente, todos nas cores primárias amarelo, vermelho e azul.
Kurt pendurou-se num quadro vermelho e daí nasceu uma dança com os seus colaboradores encarnando outras figuras.
“Havia um piano velho encostado à parede que se recusava a estar afinado e tinha um som horrível. Improvisei um par de acordes e ritmos agudos e as figuras em cartão começaram imediatamente a reagir. Uma dança de quadrados, círculos e triângulos surgiu de improviso (…) uma música de acompanhamento que correspondia vagamente às formas geométricas primárias…surgindo assim o ballet mecânico.

Mike Tonkin e Anna Liu
"Singing Ringing Tree"

Esta estrutura feita com cerca de 1000 tubos galvanizados é percorrida pelo vento actuando como um conjunto de flautas. Uma árvore metálica que produz notas e acordes que variam com a intensidade e direcção do vento, fazendo com que a música aleatória alcance quilómetros de paisagem.

A geometria na música

2008-04-25T23:24:00.002+01:00

Variable Geometry Orchestra

A música produzida pela Variable Geometry Orchestra dirigida pelo violinista Ernesto Rodrigues, resulta de uma dicotomia entre o material acústico e electrónico em que cada músico participa de forma aleatória podendo responder a outro músico em tempo indeterminado. Alternam-se monólogos e diálogos numa composição que oscila entre o caos e o todo orquestral. Ouvem-se espectros soltos como fractais que fazem tremer a mais linear geometria euclidiana…

Sense Geometry de Vladimir Hirsch

Sense Geometry é um álbum de música electroacústica de Vladimir Hirsch que atribui cada música a uma figura geométrica:

TETRAGONS, Figure 1
CIRCLES, Figure 1
TRIANGLES (Figure 1) INSIDE CYLINDRIC CHANNELS
ABSCISSAS SYSTEM (Figure 1) IN PENTAGONAL COLUMN
ELLIPSIS SEGMENTS
CIRCLES (Figure 2) IN TETRAGONAL STRUCTURE
TRIANGLES, Figure 2
ABSCISSAS SYSTEM, Figure 2
TETRAGONS, Figure 2
CHAIN OF ELLIPSOID FIGURES

Bibliografia

2008-04-24T23:11:00.000+01:00

Livros:

ANDRADE, Mário (1987). Pequena História da Música. Belo Horizonte: Ed. Itatiaia Limitada.
CONSIGLIERI, Victor (1994). A Morfologia da Arquitectura 1920-1970 (Vol.1). Lisboa: Ed. Estampa, Lda.
DROSTE, Magdalena (1994). Bauhaus. Berlim: Bauhaus – Archiv Museum
HOLL, Steven (1996). Entrelazamientos. Barcelona: Ed. Gustavo Gili, S.A.
MORGAN, Robert P. (1991). Twentieth – Century Music: A Norton Introduction to Music History. N.Y: W.W. Norton & Company, Inc.
MUNARI, Bruno (1968). Design e Comunicação Visual. Lisboa: Edições 70.
WATKINS, Glenn (1988). Soundings: Music in the Twentieth Century. N.Y: Schimer Books

Revistas e Boletins:

Boletim da Aproged nº 26 – Associação de Professores de Geometria Descritiva

Links

2008-04-23T23:02:00.000+01:00

http://www.portaldoastronomo.org/tema_19_4.php
http://www.skyscript.co.uk/kepler.html
http://cienciahoje.uol.com.br/58318
http://www.felipex.com.br/ci_harmonia.htm
http://str.com.br/Str/fato.htm
http://www.arnatureza.org.br/artigo.asp?ID=126
http://www.asmrpg.com.br/wiki/Hist%C3%B3ria_da_Astrologia
http://www.pucsp.br/pos/cos/galeria/pulsar/mais.htm
http://profs.ccems.pt/PauloPortugal/PHYSICA/Kepler/Kepler.html
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http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20060726044023AAjK9PV
http://www.saindodamatrix.com.br/archives/2007/07/emanacoes.html
http://goldennumber.net/music.htm
http://www.halexandria.org/dward113.htm
http://www.inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.php?artigo=020150060710
http://cosmiclog.msnbc.msn.com/archive/2006/07/07/950.aspx
http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit3/unit3.html
http://arquitectura.pt/forum/f11/pavilh-philips-bruxelas-1958-a-1530.html
http://www.time.com/time/magazine/article/0,9171,1582330,00.html
http://www.sca.org.br/opusculo/MusicadasEsferas.pdf
http://avozdodiabo.blogs.sapo.pt/2007/02/17/
http://www.miqel.com/jazz_music_heart/vibrational-truth.html
http://variablegeometryorchestra.wordpress.com/
http://www.sculpture.org.uk/work/000000100087/
http://www.eca.usp.br/prof/iazzetta/papers/anppom_2006.pdf
http://physicsact.wordpress.com/2007/10/28/caos-e-mecanica-quantica/

Geometria e Cinema de Animação

2008-04-18T23:02:00.007+01:00

ONE D é um filme de animação de Mike Grimshaw que nos apresenta um estranho mundo unidimensional onde os dois protagonistas, Bob e Diane, são duas rectas e pontos que parodiam todos os géneros de cinema, desde a comédia romântica à ficção científica. Provavelmente não será o seu primeiro encontro, mas poderá ser o último...
clique na imagem para vêr o filme

sem legendas

Ficha técnica:

Categoria - curta-metragem, 2005, betacam sp pal, cor
Técnicas - computador 2d duração 4’38’’
Produção, argumento - Mike Grimshaw

Animação - Mike Grimshaw, Pushai Ling

Música - Mark Grimshaw
Som - Mike Grimshaw
Prémio para a melhor curta-metragem (ex-aequo)

Geometria e o mundo

2008-03-29T01:58:00.001Z

Introdução

2008-03-22T19:26:00.003Z

Segundo o historiador Grego Heródoto (séc. V a.c), a geometria deu os primeiros passos na agrimensura ou medição de terrenos do Egipto Antigo. No entanto, as civilizações mais antigas já possuíam conhecimentos de natureza geométrica. Todas as culturas, em maior ou menor grau fizeram as suas contas, conheceram alguns números, observaram os movimentos do céu ou seguiram um calendário. Desde a pré-história, em que o homem insculpe na rocha, animais ou figuras humanas, a representação plana do objecto a três dimensões esteve sempre presente. A operação fundamental da geometria descritiva – o corte – começa justamente nas ferramentas paleolíticas. Pensa-se inclusive, que o alçado mais antigo date do ano 6000 a.C.

Egipto 2000 a.C

2008-03-22T19:22:00.005Z

Todos os anos o rio Nilo extravasava as margens e inundava o seu Delta. A vantagem era a fertilização das terras através das lamas aluviais, a desvantagem era o desaparecimento das marcas que delimitavam as terras. Os egípcios levavam os direitos de propriedade muito a sério. Tinham o chamado Livro dos Mortos em que o moribundo antes de falecer tinha de jurar que não roubara nenhum terreno vizinho. Era uma ofensa gravíssima. Caso contrário, o seu coração seria comido por uma besta chamada Devorador.

Nomearam-se os “agrimensores” ou “esticadores de corda”, que restabeleciam as fronteiras, dividindo os lotes em rectângulos ou triângulos. É então daqui que parte a origem etimológica da palavra “geometria” que deriva do grego.

GEOMETREIN – MEDIÇAO DA TERRA
GEO – TERRA
METREIN – MEDIR

O facto de praticarem uma geometria rústica, paralelamente a outras civilizações (China, civilização Hindu), não foi impedimento para a construção de Pirâmides, Templos ou ainda ordenamento das suas cidades. Daí a geometria ter surgido como um princípio de ordem sobre a terra.

Cidade da Mesopotâmea

Numa perspectiva sociológica da geometria, quanto mais civilizada é uma sociedade, mais geometrizadas são as suas relações sociais, as suas cidades e a ordenação do território.

Existem desde a altura de 2000 a.C. dois papiros muito importantes na história da geometria:

Papiro de Rhind – Papiro informativo que apresenta dados sobre trigonometria, aritmética, equações, área de volume.

Papiro de Mouscou – Escrito por volta de 1850 a.C. tem dimensões de 8 cm por 5m e conta com 25 problemas de geometria e matemática.

Grécia séc. VII a.C.

2008-03-22T19:21:00.009Z

Será na Grécia do séc. 7 a.C. que a geometria se estabelece como ciência dedutiva. A geometria grega é a geometria da régua e do compasso. Os gregos herdam toda a experimentação, intuição e empirismo dos egípcios, estipulando neles leis e regras acerca do espaço.
Encaravam a geometria de duas vertentes, uma mais prática e outra mais contemplativa. A contemplativa – a actividade do pensamento era personificada pela figura feminina. A prática, associada às leis e ao racional, era associada à figura masculina.
A geometria dos gregos era fortemente influenciada por considerações filosóficas, estéticas, religiosas, que via a perfeição em tudo o que era circular. Tudo o que não fosse circular seria associado ao corpo humano. A palavra Polígono significaria "muitos joelhos" e Isósceles significaria "Pernas iguais".

Tales de Mileto (624 – 546 a.C.) – O grande impulsionador da geometria. Das suas principais proposições destaca-se a demonstração da altura da pirâmide através da sua sombra.

Pitágoras (570 – 495 a.C.) – Além do seu principal legado – “Teorema de Pitágoras”, trabalha na geometria espacial com os elementos cubo, esfera, tetraedro e octaecaedro.

Platão (427 – 347 a.C) – Profundo admirador de proporção e geometria. Escreve o “Timeu” em 400 a.C. explicando a origem do universo através de 5 figuras cósmicas perfeitas.

Ar – octaedro
Fogo – tetraedro
Universo – dodecaedro
Terra – cubo
Água – icosaedro

Euclides (360 – 295 a.C.) – Criador da famosa geometria euclidiana, demonstra nela postulados como “Todos os ângulos rectos são iguais”; “Juntando igual com igual os totais são iguais”; “O todo é maior do que a parte”, etc. Faz das obras mais importantes na história da geometria “Os Elementos” – dividida em 13 volumes (5 de geometria plana, 3 de geometria no espaço)

Apolónio de Perga (262 – 190 a.C) – Considerado o “Grande Geómetra”. A sua principal obra “As cónicas”, é considerada por muitos o ponto máximo da geometria grega.

Work in Progress 2007/2008

2008-03-12T23:36:00.004Z

Alunos do 11º Ano da Escola EB/S Cunha Rivara de Arraiolos

Traçados lineares

2008-03-12T23:29:00.006Z

Foi pedido aos alunos a elaboração de uma composição aleatória e monocromática com base nas formas elementares da geometria. Assim, com base em traçados lineares criaram uma superfície A3 geometricamente organizada, recorrendo ao compasso ou outros recursos que considerassem relevantes, explorando sobretudo a sobreposição de elementos visuais. Após a sua conclusão, pintaram aguns dos espaços deixando outros em branco.
A geometria como elemento organizador de formas, ganha aqui uma nova dimensão, através da sua associação com o factor aleatório que se destaca como elemento potenciador de criatividade. A linha e a mancha são os elementos visuais trabalhados como meio expressivo.
Marcador preto sobre papel A3

Ilustração de João Varela

Dar cor à sala 3

2008-03-12T22:39:00.006Z

Com base nos traçados lineares de João Varela foi elaborado um projecto de pintura para uma parede da sala do nosso clube.

A Sala 3

2008-03-12T22:35:00.003Z

A “Sala 3” é uma actividade que procura homengear o espaço que deu sentido a todas estas actividades. Foi proposta a sua representação rigorosa, que incluiu uma planta e dois alçados à escala 1:50, e através deles a construção de uma maquete tridimensional. Os alunos fizeram um levantamento arquitectónico em conjunto, registando as dimensões das paredes, janelas, portas, pilares, para depois organizarem e exporem a informação segundo uma metodologia projectual. Aqui fica a maquete.

Jardim da Música

2008-03-12T17:51:00.006Z

O projecto “Jardim da Música”, tem na sua base uma das aulas leccionadas na disciplina de Geometria Descritiva, onde se abordou a relação vibrante entre o “Som, Música e Geometria”.
A partir deste tema, os alunos teriam de projectar equipamentos para pertencer a um dos espaços verdes da escola, podendo optar entre bancos, candeeiros, mini-bar, esculturas, entre outros que considerassem úteis para a promoção de uma zona de bem estar. Foram várias as influências que estiveram na base da criação das peças. As “pautas de música” e a “voluta de um Stradivarius”, começavam lentamente a transformar-se em mini bar, banco, mesa, projectados ao som do álbum “Sense Geometry” de Vladimir Hirsch e ao som dos “Variable Geometry Orchestra” Com este exercício os alunos compreenderam os significados das formas visuais que associam arte, música e espaço urbano e, em simultâneo, compreenderam as relações do homem com o espaço e objectos, através da proporção escala, antropometria e ergonomia.

Esboço de um banco em forma de semicolcheia - Alçado lateral e Frontal

João Varela

Esboço de um mini-bar baseado voluta de um violino - Planta
António Pontes

Esboço de um percurso pedonal em forma de equalizador gráfico - Planta

Ricardo Sarmento

Esboço de uma mesa com pautas musicais - Perspectiva
João Banha

Poema tridimensional

2008-03-12T17:50:00.006Z

No âmbito da actividade “Poesia Visual” realizada na escola, os alunos foram convidados a ilustrar um poema à sua escolha. Essas ilustrações deveriam representar o significado atribuído por cada um deles existindo total liberdade na escolha dos materiais plásticos.
Baseado nesta actividade, o Clube de Geometria apresentou uma proposta de continuidade do exercício, que o vinculasse a algo tridimensional, e em simultâneo trabalhasse outras competências através da mobilização de diferentes recursos. Assim, foi proposta a construção de uma maquete que representasse a retórica visual em três dimensões. A partir da maquete, os alunos elaboraram registos gráficos rigorosos, a uma escala facultativa e representaram uma planta e um alçado da peça.
Com esta actividade, pretendeu-se que os alunos interpretassem uma narrativa poética nas diferentes linguagens visuais, usassem a expressão plástica como uma arte narrativa, compreendessem e aplicassem com sucesso, o discurso criativo através de figuras da retórica visual. Em simultâneo saber usar técnicas e processos adequados à execução de maquetes tridimensionais.

“Este poema chama-se uma casa”
Para o Joaquim Oliveira Caetano

Este poema escrevo-o para ter tempo de habitar uma casa
Moldar algum barro tocar algumas palavras
Este poema chama-se uma casa
Tem uma porta grossa para transpor devagar
Uma cama antiquíssima e uma hora de calma
Algum calor no ar
Este poema escrevo-o para erguer quatro muros espessos
É uma casa com uma mesa imensa e um pão quente
e o tempo de me habituar
este poema chama-se mágoa e nos seus lábios
eu chamo-me as palavras que te chamam e nos chamam
os muros de uma casa a respirar

Miguel Serras Pereira

Maquete de António Pontes

Desenhamos a solidão
Sobre a paisagem antiga
Um piano ao fundo
E lenços brancos
A enfeitar o horizonte
É o sonho.

Luís Silva

Maquete de Ricardo Sarmento

Propostas de pintura para um banco

2008-03-12T17:47:00.013Z

Com base nas pinturas da história da geometria, apresentamos cinco propostas para pintar um banco do "Jardim da Música".

O Rectângulo de Ouro

2008-02-07T22:33:00.002Z

O rectângulo de ouro é o resultado da procura de um cânone ideal de beleza. A sua origem remonta à Grécia Antiga. Este sistema de proporção foi aplicado na arquitectura, escultura e pintura.

Fachada do Templo de Neptuno, séc. XV a.C.

Estátua de Doryphorus

Leonardo Da Vinci aplica a proporção áurea na pintura de Mona Lisa e no Homem Vitruviano

O arquitecto francês Le Corbusier cria mais tarde um novo sistema de proporção designado por Modulor que influi em toda a sua arquitectura.

Geometria e as mulheres

2008-01-26T01:53:00.000Z

Woman teaching geometry, uma ilustraçao medieval (autor desconhecido) em que uma figura feminina demonstra os postulados da geometria euclidiana.

Euclides em http://clubedegeometria.blogspot.com/2008/01/personagens-da-geometria.html

Composições da história da Geometria

2008-01-26T01:41:00.007Z

Com base no tema da uma das aulas assistidas, “História da Geometria”, os alunos elaboraram composições plásticas bidimensionais, a partir de elementos da geometria elementar de um determinado período histórico, personagem ou assunto. Estes elementos foram primeiro registados em folhas de papel de desenho e posteriormente passados para telas.
Com esta actividade pretendeu-se que os alunos compreendessem a geometria no espaço, como princípio organizador de formas e, a partir de uma realidade imaginada, reconhecessem a experimentação plástica como expressão de gostos pessoais.
Acrílico sobre tela 30x30.

João Banha inspira-se no rectângulo de ouro da antiguidade clássica e cria uma métrica ortogonal pintada com cores frias. Modrian é um dos seus pintores preferidos...

André Arnaud cria uma imagem de arcos entrelaçados inspirando-se nos arcos ogivais do período gótico. Predomina a cor azul.

João Varela homenageia Pitágoras. Inspirado numa demonstração gráfica do conhecido teorema, cria uma imagem que compila os principais elementos: triângulo e quadrado. O preto e o vermelho predominam.

Ricardo Sarmento constrói uma relação vibrante entre cores quentes e formas acutilantes que dialogam com semi-círculos.

António Pontes divide uma tela preta com uma faixa de figuras triangulares. Pequenos jogos cromáticos compõem as figuras que combinam preto, amarelo, vermelho e laranja.

Cartaz de Rectas e Planos

2008-01-26T01:06:00.000Z

Um cartaz com dimensão de um A1 colocado na parede da nossa sala.

Personagens da Geometria

2008-01-26T01:02:00.000Z

Idade Média até ao séc. XIII

2008-01-25T20:28:00.000Z

Na Idade Média, Deus – o Criador do Universo – era o traçador de círculos.

O Criador como Geómetra e Arquitecto

in Bible Moralisée, Viena, Ca 1250

O círculo continuava a ser sinónimo de um desígnio superior e de perfeição, conhecendo terreno fértil na Idade Média – um dos períodos históricos com sentido teológico muito vincado.

Se por um lado Euclides era o ídolo para os pedreiros medievais, também o era Villard de Hounnecourt.

Euclides versus Villard de Hounnecourt

Enquanto o primeiro deixava o legado dos “13 Elementos”, o segundo, numa teoria oposta faz a mais importante colectânea de desenhos do período médio, de um notável conhecimento geométrico que conta com vários desenhos de arquitectura, motivos religiosos, peças de mobiliário, desenho de máquinas.
Alguns dos seus esboços:

O período gótico é também aquele que nos confronta com as maiores catedrais, onde as esguias formas geométricas tentam ascender ao divino.

Um exemplo disso é a Catedral de Colónia, iniciada em1248, pela ordem do arcebispo Konrad von Hochstaden e projectada pelo mestre Gerhard. Ao lado, a imagem da Gare de Oriente, projectada em 1998 pelo arquitecto Santiago Calatrava, que materializa algumas influências deste período.

No traçado das catedrais procura-se uma relação formal simétrica, traduzida em formas triangulares e quadrangulares combinadas; pentágonos ou hexágonos inscritos e linhas curvas.

Ilustram-no as seguintes figuras:

Renascimento séc. XV

2008-01-25T15:54:00.000Z

O Renascimento foi um movimento artístico que teve início em Itália no séc. XV, cujo nome significa recomeço. Estávamos numa altura de grandes progressos científicos marcados pela sobreposição da razão em relação à metafísica havendo por conseguinte grandes inovações no campo da ciência, tecnologia e da arte. Há uma descida do sagrado ao profano, e conforme se começam a pintar pessoas, lugares e não anjos vai surgindo a perspectiva linear.

Filippo Brunelleschi
Igreja de San Lourenzo, Florença, 1421-60

Efectivamente a força visual da perspectiva linear, resulta da possibilidade de relacionar a posição do observador com a do objecto, criando um efeito psicológico de escala, aproximando-se daquilo que o observador vê com a sua retina. O que é actualmente muito bem explorado, por exemplo, no cinema.

Carlo Maderno
Cúpula da Basílica de S. Pedro, 1606

Alguns dos geómetras renascentistas:

Filippo Brunelleschi (1377-1446) – Um dos fundadores da geometria moderna constrói um mecanismo designado por “Tavolleta”, que permite representar o objecto segundo regras perspécticas rigorosas.

Leon Baptista Alberti (1404 – 1472) – Tratadista que define regras de aplicação da perspectiva geométrica à pintura.

Piero della Francesca (1420 – 1492) – Escreve o primeiro tratado de perspectiva “De Prospectiva Pingendi”.

Leonardo Da Vinci (1452 – 1519) – No seu Tratado de Pintura defende uma pintura livre de rigidez geométrica. Graciosidade, criatividade luz e cor são incompatíveis com “matemáticas”.

Dürer (1471 – 1528) – Um dos últimos pintores geómetras. Considerado o percursor de Monge, cria o perspectógrafo, cujo resultado será mais tarde aplicado ao mecanismo da máquina fotográfica.

Joannes Kepler (1571- 1630) – Recupera o estudo dos sólidos platónicos através de um modelo de sistema planetário que descreve as distâncias orbitais dos 6 planetas conhecidos na altura.

Desargues (1591 – 1661) – Impulsionador da Geometria Projectiva, aplica as leis da perspectiva às cónicas de Apolo de Perga.

Na perspectiva linear há uma série de regras que ilustram a relação entre os objectos dispostos em diferentes profundidades, reguladas por grandeza, distancia, forma e inclinação, luminosidade, profundidade, cor, etc.

Ilustram-no as seguintes imagens:

Piero della Francesca
Flagelação de Cristo, 1445 (?)

Carlo Crivelli
O anúncio de Santo Emídio , 1486

Johannes Vermeer
O Astrónomo , 1668

Johannes Vermeer

O Geógrafo , 1668

Gaspard Monge

2008-01-23T02:22:00.000Z

“Representar com exactidão, sobre desenhos que só têm duas dimensões, objectos que na realidade têm três e que são susceptíveis de uma definição rigorosa”

Gaspard Monge (1746-1818) – Nasce em Borgonha.
É um importante matemático da revolução francesa e pesquisador de física e química, trabalhando inclusive com Lavoisier. Aos 17 anos coordena um curso de física no Collège de La Trinité.Vivia-se num contexto marcado por um forte cariz militar (Revolução francesa e Industrial) não admira que as primeiras aplicações da geometria de Monge estivessem vinculadas à própria engenharia militar. Até lá tudo era feito com intermináveis cálculos aritméticos. Desta forma Monge simplifica todo esse processo criando um referencial geométrico constituído por um plano vertical e horizontal no qual a figura é projectada segundo rectas perpendiculares.

in MASSIRONI, Manfredo (1982). Ver pelo Desenho – aspectos técnicos, cognitivos, comunicativos. Lisboa: Edições 70

Assim, se a perspectiva linear procura agarrar o objecto na sua totalidade, é agora substituída por uma desagregação do objecto, numa soma de imagens que o reflectem em dois ou três planos perpendiculares entre si. Da compilação de todos os seus esboços e apontamentos nasce, em 1795, o “Tratado de Geometrie Descriptive”.

Actualidade

2008-01-23T01:19:00.000Z

Se analisarmos uma árvore em que do seu tronco nascem dois ramos, que por sua vez cada um deles se reparte em ramos menores e assim por diante, contendo cópias de si mesmo, recebem o nome de fractais. “Fractus” – descontínuo.

Benoit Mandelbrot (1924) matemático francês, propôs este novo conceito de geometria que ficou conhecida como geometria fractal. O objectivo dessas novas famílias de objectos foi minimizar as lacunas deixadas pela geometria Euclidiana no que diz respeito às formas existentes na natureza.
Enquanto que todas estas geometrias tradicionais se limitam a descrever apenas a superfície e curvas lisas, vários outros elementos da natureza, como montanhas, árvores entre outros, possuem irregularidades que se dizem fragmentadas.
Um livro base para o estudo da geometria fractal foi escrito pelo próprio Mandelbrot, chamado: The Fractal Geometry of Nature (1977).

Exemplos de fractais:

Por outro lado temos as novas técnicas de representação, como as TIC e o Desenho Assistido por Computador (CAD) que incidem substancialmente numa geometria construtiva e geradora de formas.

Vincent Callebaut
The 8 Lighthouses of the Light Rail transit, Port Louis, 2004

Vincent Callebaut
The Perfumed Jungle, Hong Kong, 2007

http://vincent.callebaut.org/

Toyo Ito

Berkeley Art Museum (BAM) Golden Gate Park

http://www.toyo-ito.com

Bibliografia

2008-01-23T00:47:00.001Z

Livros:

EDITORES UNIDOS, LDA (1996). História da Arte – As Primeiras Civilizações (Vol. 1). Barcelona: Planeta de Agostini, S.A.
EDITORES UNIDOS, LDA (1996). História da Arte – A Antiguidade Clássica (Vol. 2). Barcelona: Planeta de Agostini, S.A.
EDITORES UNIDOS, LDA (1996). História da Arte – A Idade Média II (Vol. 4). Barcelona: Planeta de Agostini, S.A.
EDITORES UNIDOS, LDA (1996). História da Arte – O Renascimento (Vol. 5). Barcelona: Planeta de Agostini, S.A.
JANSON, H.W (1986). História da Arte (5ª ed.). Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian
MASSIRONI, Manfredo (1982). Ver pelo Desenho – aspectos técnicos, cognitivos, comunicativos. Lisboa: Edições 70
KOSTOF, Spiro (1988). Historia de la Arquitectura (Vol.3). Madrid: Alianza

Revistas e Boletins:

Boletim da Aproged nº 21 – Associação de Professores de Geometria Descritiva
Boletim da Aproged nº 24 – Associação de Professores de Geometria Descritiva
Boletim da Aproged nº 25 – Associação de Professores de Geometria Descritiva
Boletim da Aproged nº 26 – Associação de Professores de Geometria Descritiva
Boletim da Aproged nº 27 – Associação de Professores de Geometria Descritiva
Design Document Séries, nº 14 – Vincent Callebaut Arquitectures – New Worlds, Damdi Publishing Co., Lda, 2005

Links

2008-01-23T00:44:00.002Z

http://apus.uma.pt/~jkosta/FILES/historiajc/12adventogeoprojectiva/adventogeoprojectiva.htm#anarmonica
http://oliveiros.tripod.com/gdesc1.htm
http://www.aproged.pt/APROGED/Hist_Orig.htm
http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/introducao/index.html
http://www.prof2000.pt/users/sancho2/Paginas_Pessoais/Grupos_Trabalho/Passatempos_Matematica/Temas%20abordados%20nas%20aulas.htm
http://www.profcardy.com/geodina/descritiva.php
http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria
http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_projetiva
http://aproged.do.sapo.pt/apro/historia-gd/14geoprojectiva/geoprojectiva.htm
http://www.prof2000.pt/users/miguel/histmat/af22/materiais/texto4.htm
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm38/historia.htm
http://www.csupomona.edu/~plin/ls201/geometry.html
http://calculomatematico.vilabol.uol.com.br/geoespacial.htm
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Monge.html
http://www.sabix.org/bulletin/b23/monge.html
http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,ECT498444-1944-1,00.html
http://pt.wikipedia.org/wiki/Gaspard_Monge
www.dec.ufcg.edu.br/biografias/GaspardM.html
http://paginas.terra.com.br/educacao/calculu/Historia/monge%20.htm
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm28/tales.htm
http://www.dombosco.com.br/curso/estudemais/historia/estilogotico.php
http://www.on.br/site_edu_dist_2006/pdf/modulo3/a_geometria_euclidiana.pdf
www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/apolonio/index.htm
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/curiosidouro.htm
http://www.albertiefirenze.it/english/mostra/opere/sez6/sez6_136.htm
http://www.liceoscientificosulmona.it/SPAZIO-TEMPO/images/flagellazione.jpg
http://www.lumen.nu/rekveld/wp/?page_id=337
http://www.profcardy.com/geodina/persp_conica.php
http://www.hps.cam.ac.uk/starry/kepler2lrg.jpg
http://villarddehonnecourt.free.fr/

Percurso

2008-01-22T20:42:00.004Z

A actividade “Percurso” é uma proposta que trabalha a relação entre o homem e o espaço, tendo por base as sensações espaciais. Foi pedido aos alunos que escolhessem dos seus itinerários comuns, aquele que considerassem especial, uma ida ao campo, ao jardim, à cidade, entre outros. Com a máquina fotográfica e com pequenos desenhos esquemáticos deveriam registar graficamente esse percurso, desde o seu momento inicial até ao momento final, observando a existência ou não de vegetação, a existência de algum aglomerado urbano, a inclinação e a largura dos espaços percorridos, a existência de miradouros, pontes, etc. elaborando uma breve reflexão escrita sobre as sensações dos espaços percorridos.A partir desta reflexão foi proposta a construção tridimensional dos elementos que melhor caracterizassem o percurso, sem que eles se assemelhassem à realidade. Pretende-se representar sensações espaciais e não o mimético ou real. Através desta actividade pretende-se que os alunos compreendam a geometria no espaço como princípio organizador de formas; compreendam as relações do homem com o espaço e objectos, através da proporção e escala; e compreendam as diferentes sensações das formas visuais.
Work in Progress

Rectas de Luz

2008-01-22T20:41:00.003Z

Com recursos que incluíram diversos tipos de luzes e lanternas criámos um ambiente psicadélico de várias cores, formando composições digitais a partir da máquina fotográfica. Com esta previamente colocada num tripé tirámos várias fotografias de exposição prolongada, movimentando levemente a cabeça do tripé, num gesto uniforme e rectilíneo. O resultado final foi representações luminosas com efeito de arrastamento que se assemelharam a “rectas de luz”. Através desta actividade, os alunos aplicaram o elemento da linha como meio expressivo, utilizando técnicas e instrumentos como via para desenvolver a imaginação e criatividade. Por outro lado, desenvolveram o experientalismo como acto criativo percebendo alguns dos mecanismos perceptivos da luz e cor.

Assinatura do clube

2008-01-22T19:33:00.000Z

"O pensamento lógico pode levá-lo do ponto A ao ponto B, mas a imaginação pode levá-lo a qualquer parte do universo".

Einstein

As Escolas e o Clube

2008-01-22T17:09:00.003Z

O Clube de Geometria foi criado no ano lectivo 2007/2008 no âmbito do projecto de Estágio Pedagógico do Curso de Artes Visuais.
A Escola EB/S Cunha Rivara de Arraiolos foi o seu primeiro porto de abrigo. Uma escola dinâmica, receptiva a novas ideias e que procura um lugar na fileira da inovação.
O coordenador de estágio Prof. Luís Alves Silva apoiou de forma incansável as actividades do clube, tendo incentivado todas as propostas apresentadas. O seu apoio e o trabalho conjunto por parte dos alunos foram uma peça imprescindível no cumprimento dos objectivos propostos, tornando este clube uma mais valia para a comunidade escolar.
O alunos do 11º Ano, António Pontes, João André Arnaud, João Banha, João Varela e Ricardo Sarmento fizeram parte do primeiro grupo.

Escola EB/S Cunha Rivara . Arraiolos . 2007/2008

Quem somos nós

2008-01-22T00:01:00.002Z

O Clube de Geometria é um projecto de cariz pedagógico e extra-curricular integrado na disciplina de Geometria Descritiva, cujo sentido de presença é o de contribuir para a formação no desenvolvimento de ideias e projectos.

O seu e-team, formado por uma professora de Artes Visuais e alunos de diferentes escolas, vê aqui a oportunidade para expressar os conteúdos da disciplina de forma complementar e transversal, tornando este clube num canal de comunicação entre a geometria e o mundo.

As actividades realizadas, privilegiam sobretudo uma abordagem transdisciplinar e propõem como áreas dominantes, o desenho, as explorações bidimensionais e tridimensionais e as tecnologias de imagem, incentivando com isso, formas personalizadas de expressão e comunicação.

Promovemos uma geometria que se desafia a si própria, que ultrapassa a sua racionalidade, que desperta novas formas de olhar e sentir, que abre a sua esfera a um mundo em constante evolução...

O cartaz do clube

2008-01-21T22:24:00.001Z

O cartaz do Clube de Geometria foi realizado a partir de uma ideia chave inerente ao acto de construir.
“Com um kit de ferramentas vamos construir Geometria”.
Essas ferramentas representam não só as actividades do clube, como também os temas explorados no próprio projecto de estágio. A figura do Cd poderá ilustrar não só um exercício de tecnologias de imagem, como a relação da Geometria com o Som, Música ou Cinema. As ferramentas de corte representam as actividades tridimensionais e a relação da Geometria com a Escultura ou Arquitectura,... A lapiseira ou o pincel representam uma Geometria bidimensional associada à Pintura...