Geometria no Teatro

A Geometria dos Sonhos

Companhia de Teatro La Casa Incierta/Espanha

A Geometria dos Sonhos é um espectáculo de Teatro para bebés que conta a história da metamorfose de uma pedra que deseja ser núvem. Os espectadores são convidados a entrar num espaço geométrico com uma estrutura pentagonal, para descobrir e decifrar sete histórias que se escondem em sete candeeiros criados pelo artista António Catalano. Um caminho sem palavras através dos mapas do nosso corpo, que nos aproxima de mitos milenários...

De 9 a 12 de Outrubro no Centro Cultural de Belém

http://www.lacasaincierta.com/

http://www.ccb.pt

Geometria e Poesia Visual

Ernesto Melo e Castro (1932), poeta e ensaísta, realiza em 1993, o videopoema "Sonhos de Geometria", de 30 minutos, dividido em cinco partes. Melo e Castro teve a ideia pioneira de gerar caracteres para produzir poemas animados, pensados especificamente para veiculação na televisão.

Geometria e Fotografia

Hiroshi Sugimoto, fotógrafo japonês conhecido pelas suas séries "Oceans" e "Theatres" fotografa as "Conceptual Forms", utilizando modelos de gesso feitos a partir de algoritmos matemáticos.

Surface 0008, 2004

Screw, 2004

Diagonal Clebish Surface Cubic with 27 lines

Conic Surface or Revolution with constant negative curvature

Helicoid Minimal Surface, 2004

Kuen's Surface - A Surface with constant negative curvature

Mathematical Form Surface 0002, 2004

Geometria e Escultura / Instalação

A instalação do artista mexicano Damián Ortega, lembra as axonometrias explodidas dos manuais de contruções e as axonometrias utilizadas no desenho arquitectónico rigoroso.

"Cosmic Thing", 2002
Galeria D'Amelio Terras, em Nova Yorque.

"Miracolo Italiano", 2005

Casa do Castelhano, Caldeira das Lajes


Rinus Roelofs cria uma escultura que lembra os quadrantes e octantes da Geometria Descritiva

Outras superfícies geométricas:

Isocaedro de Richard Sweeney

Solstice, 1985, Barnett Plaza

Charles O. Perry

Superfície geométrica de Rinus Roelofs

Geometria e o número Zero

A história do zero é uma história muito antiga, com raízes na matemática, milhares de anos antes da 1ª civilização, muito antes da escrita e da leitura. É um conceito oriental, nascido no crescente fértil do actual Iraque, tendo origem na maneira de contar babilónica, através do auxílio do ábaco. Chega ao Ocidente pelo Islão e tem raízes hindus e árabes. O nome indiano era sunya; o nome árabe era sifr; até chegar aos eruditos ocidentais que o transformaram numa palavra que soasse ao latim – zephirus. Os matemáticos chamam-na de cifra.
Mas hoje aquilo que nos parece tão natural, foi ao longo de gerações encarada como uma ideia estranha e assustadora com perigosas propriedades matemáticas que destruíam a lógica e destruíam o mundo. Um quebra-cabeças dos grandes matemáticos, físicos, filósofos, até hoje.

Se nos reportarmos para o pensamento matemático comum, o seu início está ligado à necessidade dos pastores contarem ovelhas e na necessidade de registar propriedades e a passagem do tempo. E como nenhuma destas tarefas requer o zero; as civilizações funcionaram perfeitamente bem durante milénios e sobreviveram sem ele. No fundo ninguém precisava de registar zero ovelhas ou contar zero crianças e foi por esta razão que as pessoas toleraram a ausência do zero durante tanto tempo, não era preciso um número para expressarem a falta de qualquer coisa.


No campo das artes:

Antes do séc. XV, as pinturas e desenhos eram na sua grande parte planos sem vida. As imagens eram distorcidas e bidimensionais e mesmo os melhores artistas não conseguiam desenhar cenas realistas. Foi o arquitecto Filippo Brunelleschi (1377 – 1446) quem primeiro demonstrou o poder do zero infinito, em 1425, através do seu desenho do Baptistério, no qual tudo converge para um ponto de fuga. Tudo recua, avança, diminui ou aumenta. No fundo o zero no centro da pintura contém uma infinidade de espaço, associando-se, por sua vez, ao infinito. Será este ponto um todo ou um nada?

in SEIFE, Charles (2000). Zero - A bibliografia de uma ideia perigosa. Lisboa. Gradiva - Publicações, L.da.

Zero, esse nada que é tudo.
Laisant

Fora esse grande Todo que me dá cabo da paciência! Viva o Zero, que me deixa em sossego!
Victor Hugo

Quem? O infinito? Diz-lhe que entre. Faz bem ao infinito estar entre gente.
Alexandre O’Neill

Geometria e Multimédia

No campo da Multimédia a geometria conta com várias ferramentas de sotfware didáctico que auxiliam o processo de aprendizagem do aluno:

AEIOU (WINDOWS) - Software de geometria descritiva disponível através da Associação de Professores de Geometria Descritiva

Cabri-Geometry: (DOS) software de construção em geometria desenvolvido pelo Institut d'Informatiqe et de Mathematiques Appliquees em Grenoble (IMAG. É um software de construção que nos oferece “régua e compasso electrónicos”, sendo a interface de menus de construção em linguagem clássica da Geometria. Os desenhos de objectos geométricos são feitos a partir das propriedades que os definem e mantêm estabilidade sob o movimento.

Sketchpad: (WINDOWS) software de construção em geometria desenvolvido por N. Jackiw e S.Steketee comercializado por Key Curriculum Press. É um software de construção que nos oferece “régua e compasso electrónicos”, sendo a interface de menus de construção em linguagem clássica da Geometria. Os desenhos de objectos geométricos são feitos a partir das propriedades que os definem e mantêm estabilidade sob o movimento. É possível converter seus arquivos em linguagem java, de maneira que sejam disponibilizados na rede.

Dr Geo: (DOS) software de construção em geometria desenvolvido por Hilaire Fernande (Grenoble) e que nos oferece “régua e compasso electrónicos”, sendo a interface de menus de construção em linguagem clássica da Geometria. Os desenhos de objectos geométricos são feitos a partir das propriedades que os definem e mantêm estabilidade sob o movimento.

Geoplan : (WINDOWS) software de construção em geometria que trabalha os conceitos analíticos da geometria em um sistema de coordenadas cartesianas. Desenvolvido pelo Centre de Recherche et d'Expérimentation pour l'Ensignement des Mathématiques (CREEM)

Régua e Compasso : (WINDOWS) software de construções geométricas com régua e compasso.

Geometria Descritiva: (DOS)software de construção em geometria descritiva, que trabalha em um sistema projectivo; em 3D. Produzido por V.Teodoro e F.Clérigo, da Universidade Nova de Lisboa.

Euklid: (WINDOWS) software de construções geométricas com régua e compasso, e geometria dinâmica. Semelhante ao Cabri e ao Sketchpad.

Wingeom : (WINDOWS) software free que permite construções geométricas bidimensionais e tridimensionais.

S-Logo: (WINDOWS) é uma linguagem de programação de fácil compreensão e que possibilita que o aluno desenvolva o raciocínio, desenvolvendo seu próprio programa. É muito bom para o ensino de geometria e pode ser usado em todos os níveis escolares.

Poly: (WINDOWS)é uma criação Pedagoguery Software, que permite a investigação de sólidos tridimensionalmente (com possibilidade de movimento), dimensionalmente (planificação) e de vista topológica. Possui uma grande colecção de sólidos, platónicos e arquimedianos entre outros.

Download dos programas através do link
http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/tecmat/software/softw.htm

No campo lúdico, para os mais jovens, o jogo "Geometry Wars" apresenta um curioso cenário de elementos geométricos que nos lembram os fractais de Mandelbrot.

Geometria e o Cinema

A relação entre geometria e cinema encontra na perspectiva linear um poderoso e eficaz meio de expressão, através do qual a relação entre a posição do observador e a do objecto cria um efeito psicológico de escala que caracteriza muitos dos planos que observamos no grande ecrã. Por outro lado, os novos mídia vieram conquistar o espaço deixado pela figuração simples da perspectiva linear, que vê na fotografia, cinema e software informático um novo meio de expressão.

Berengo Gardin,Veneza, 1960

Além da perspectiva linear encontramos uma relação entre a geometria e o cinema no filme "The Battleship Potemkin", 1925 de Sergei Eisenstein, onde o realizador utilizou a Razão de Ouro para marcar o início das cenas importantes da trama, medindo a razão pelo tamanho das fitas da película. O filme é dividido em cinco partes e é realizado para comemorar os vinte anos da Revolução Russa. Algumas imagens:

clique na imagem para ver o filme

Em 1997, Vincenzo Natali realiza o "Cubo", aliando uma história de ficção e suspense a intermináveis cálculos matemáticos que libertarão para sempre, os prisioneiros de uma clausura cúbica. Destes prisioneiros fazem parte um polícia, um ladrão, uma matemática, uma psicóloga, um arquitecto e um jovem autista que são misteriosamente presos num labirinto de alta tecnologia. Sem comida nem água, eles precisam de encontrar um meio de sair do local. Precisam também de tomar cuidado para não accionar armadilhas letais, que surgem nos estranhos cubos.

Porquê estudar Geometria?

Os estudantes da Grécia Antiga e os estudantes de hoje tediam (em) a agarrar-se à noção de que a geometria é inútil. Como afirmou Sir Thomas Heath "Não obstante a influência de Platão, em geral a atitude das pessoas cultas, perante a matemática, não era diferente, na sua altura, do que é no presente,". Na "República" de Platão, ficamos a saber que os estudantes, na altura, duvidavam da importância de estudar geometria. O filósofo grego Teles mencionou a geometria como sendo uma das pragas para os jovens. Da mesma forma, Isócrates afirmou que a maioria das pessoas achava o estudo da geometria ocioso... "uma vez que não tem utilidade em compromissos públicos ou privados"; a maior parte das vezes ficam esquecidos, justamente por não serem necessários na nossa vida diária e activa..., está completamente fora das necessidades de todos os dias.
Isócrates, no entanto, acreditava que, como escreveu Heath "...o estudo desses assuntos ao seu melhor nível, leva um jovem a manter a sua atenção, sem permitir que a mente vagueie; então, praticando desta maneira e tendo o seu engenho afiado, o jovem será capaz de aprender assuntos mais importantes com maior facilidade e rapidez.
Os estudantes de hoje sentem mais ou menos o mesmo. Imaginam o que uma "boa geometria" pode fazer por eles e quando são interrogados respondem algo do género - estudar geometria permite às pessoas pensar com mais lógica e abre a mente para um novo nível de pensamento e capacidade de raciocínio.

O estudo do desenho geométrico dará ao aluno oportunidade de desenvolver o raciocínio lógico-dedutivo, além de despertar a criatividade. Independentemente da área a que se vá dedicar como futuro profissional. Por outro lado, quando se manuseiam os instrumentos, desenvolve-se grandemente o sentido de organização; com frequência o estudante então experimenta a sensação de realização, ao ver as ideias que possibilitam a construção, serem concretizadas no papel.
Especificamente os que pretendem orientar os seus estudos para as áreas de Engenharia ou Arquitectura terão no desenho geométrico o instrumental necessário ao desenho projectivo.


in
http://www.educ.fc.ul.pt/icm99/icm38/historia.htm
http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/introducao/index.html

Work in Progress

Geometria, Som e Música - Introdução

Será possível escutar geometrias quando se ouve música? Da mesma forma, será possível ler sons numa peça geométrica? E será possível ouvir a forma de um tambor? Serão estes os enigmas que lançam a disciplina da geometria em mais um desafio – a sua relação com o som e com a música. Desde os povos da antiguidade que a música é entendida como forma de magia e invocação, ainda hoje o seu efeito potencia interessantes viagens sonoras. Esta viagem tomará como passageira a geometria e será estudada segundo várias perspectivas. Debrucemo-nos naquilo que define som e música:

Som não é mais que energia em vibração transmitida pelo ar e recebida pela nossa membrana auditiva.
Música é uma sucessão de sons encadeados temporalmente e organizados segundo uma métrica precisa, ou se quisermos, um conjunto de vibrações baseadas em cálculos geométricos e proporções precisas.

Caméléon Pontique atribui a origem da música ao canto das aves; Lucrécio ao vento formado nas canas das plantações e Zarlino afirma que a sua origem está associada ao som da água. Da mesma forma, Jubal é considerado o inventor da música instrumental, o pai de todos os que tocam lira, que ao escutar os sons produzidos por martelos encontra na música as proporções dos seus intervalos.

Ilustração de Franchinus Gafurius

1492

Pitágoras e as cordas

A primeira grande referência na ligação entre a geometria e a música surge ilustrada na seguinte figura que atribui a Pitágoras (582a.C.- 507a.C) a relação entre uma qualidade (som) numa quantidade (duração).

Usando a razão de números inteiros – “Todas as coisas são números inteiros” – descobre que o comprimento de uma corda vibratória reduzido à metade produz o dobro da frequência, ou seja, quando um músico pressiona uma corda exactamente a meia distância do seu comprimento, produz uma oitava. Por conseguinte se essa metade for reduzida obteremos outra frequência maior. Estava assim descoberto o “Milagre da oitava” – a relação de proporção que habitava o mundo e as órbitas planetárias; a expressão mais simples e profunda da relação espacial entre o espírito e a matéria; o padrão da unidade que inspirará toda a música erudita ocidental. E do mesmo modo que uma corda de um instrumento gera música, também a geram os padrões geométricos pois são descritos por relações simples entre números inteiros.

Rafael Sanzio

"A Escola de Atenas", 1509

Pitágoras e a escola de Atenas

É também da escola pitagórica que parte a divisão das Sete Artes Liberais da futura Idade Média, em duas categorias, Trivium e Quadrivium:

Trivium : gramática, dialéctica e rectórica.

Quadrivium: Aritmética, Geometria; Música e Astronomia.

Através do Quadrivium (que incluía as grandezas estáticas ou dinâmicas) percebemos que a geometria e música pertenciam à mesma área de conhecimento.

No período medieval a música é definida como “numerus relatus ad sonum”, isto é, número associado ao som.

Música das Esferas

Parte de Pitágoras a distinção entre 3 tipos de música que se mantiveram durante toda a I.M: a música instrumentalis; a música humana e a música mundana ou cósmica. Será a partir desta que surgirá a mais primorosa música, de sons perfeitos livres de ruídos, tão perfeita que o ser humano será incapaz de a ouvir. Uma música que não acaba, uma vez que o movimento dos astros é infinito.

Andreas Cellarius

"Harmonia Macrocósmica", 1660

A música cósmica que de acordo com Philo de Alexandria Moisés teria ouvido quando recebeu as tábuas da lei no Monte Sinai, e a qual Santo Agostinho acreditava que os homens ouvem na hora da morte.

Da mesma forma que a corda de uma lira depende do seu comprimento, cada planeta, considerado um ser vivo, único e inteligente produz um tom consoante a sua órbita e posicionamento em relação à Terra. E todos eles produzem uma orquestra racional.

O Divino Monocórdio

Robert Fludd

O Divino Monocórdio

Robert Fludd (1574 – 1637), filósofo inglês, (um dos maiores expoentes na explanação das harmonias musicais; que juntamente a Pitágoras e Keppler praticamente cunha o termo “Música das Esferas”) ilustra um instrumento de uma só corda que faz a ponte entre o céu e a terra, e que dispõe os astros segundo regras da harmonia musical. Em torno do instrumento há inúmeros semi-círculos onde estão inscritas as várias forças da natureza. A nota de cada planeta é associada a uma divisão da corda do monocórdio. De uma nuvem sai uma mão que aperta a cravelha do instrumento elevando as frequências à medida que aperta a corda. O som associado a cada planeta será tão mais agudo quanto mais distante estiver da terra.

Se existisse um monocórdico cósmico gerador de todas as vibrações possíveis, ouviríamos frequências que se misturavam com microondas, ondas de televisão, rádio, etc.

Harmonices Mundi

Joannes Kepler "Mysterium Cosmographicum", 1596

Cubo 6 faces – Vénus – Sustenido
Tetraedro 4 faces – Mercúrio – Oitava e Terça Menor
Octaedro 8 faces – Marte – Quinta
Dodecaedro 12 faces – Júpiter – Terça Menor
Icosaedro 20 faces – Saturno – Terça Maior
Terra – Meio Tom

Joannes Kepler (1571 – 1630) ilustra a mais emblemática representação do universo através dos sólidos platónicos, aos quais se junta uma partitura musical que lhes confere não um único som, como defendia Pitágoras, mas uma melodia contínua que variava entre o som mais grave e mais agudo consoante a distância relativa ao Sol. Quanto mais distantes do Sol, mais lentos e mais graves.
A melodia entoada pela terra seria meio-tom, a partir do qual Kepler associou aos tons Mi – Fá – Mi. A guerra dos 30 anos, levou-o a pensar que a Terra (o grande ser vivo), produzia um lamento constante, em nome da Misere e Fami (Miséria e Fome) que reinavam na altura.

“O movimento dos céus, não é mais que uma eterna polifonia” – Kepler in Harmonices Mundi, 1619.

O Panteão de Roma

Lembrando a antiga tradição egípcia que considera “Tudo o que está em cima é como o que está em baixo, e o que está em baixo é como o que está em cima”, observamos o Panteão de Roma, que na sua cúpula congrega um potencial simbólico, onde a divisão em 28 meridianos se assemelha aos ciclos lunares. O óculo central corresponde ao Sol.


Uma espécie de sinfonia celeste se considerarmos a perspectiva de Goethe “A geometria é música congelada”.

Giovanni Panini

Panteão de Roma, séc. XVIII

Walter Murch

Cúpula do Panteão de Roma

O intervalo de quinta no Templo de Horus e em figuras geométricas

Do octaedro de Kepler que corresponde ao planeta Marte e por conseguinte a um intervalo musical de quinta, entramos no templo egípcio de Horus em Edfu cuja altura e largura correspondem a 2:3 que define o intervalo pretendido.

Templus de Horus, Edfu - Egipto

Uma quinta também presente nas formas geométricas do pentágono, pentagrama e rectângulo.
A quinta representa 2:3 – corresponde aos lados de um triângulo de um pentagrama;
A quarta representa 3:4 – corresponde aos lados de um triângulo de um pentágono;
A oitava representa 1:2 – corresponde a um rectângulo composto por dois quadrados dividida por uma diagonal.

Intervalo de quinta 2:3 Intervalo de quarta 3:4 Intervalo de oitava 1:2

O que tem em comum a Catedral de Notre Dame e a 5ª Sinfonia de Beethoven

É na antiguidade que se funda a ideia de que os mesmos rácios agradáveis ao ouvido também o serão para os olhos. Estes rácios não só harmonizam as formas arquitectónicas como também a própria música.
A doutrina da música das esferas foi transmitida ao longo da Europa Medieval encontrando a sua expressão mais gloriosa na arquitectura das grandes abadias e catedrais, conscientemente concebidas para obedecer às proporções da harmonia musical e geométrica. Uma dessas catedrais é Notre Dame, construída de forma a obedecer a princípios de geometria sagrada, harmónica e acústica.

Maurice de Sully

Catedral de Notre Dame, 1163

Beethoven

Excerto da 5ª Sinfonia

Se Notre Dame contempla a relação proporcional de Phi, também o encontraremos na 5ª de Beethoven.
O facto de que algo importante está neste ponto, dividindo a peça musical ou parte dela na proporção de ouro, parece ter um efeito no subconsciente do ouvinte. Aqui a música atinge a perfeição. Segundo o autor Derek Haylock, a abertura da 5ª de Beethoven ocorre exactamente no ponto de ouro da peça 0,618034.
Assim a proporção geométrica de Notre Dame corresponde à música no seu ponto 0.618

A Música na Arquitectura de Le Corbusier

O pavilhão Philips inaugurado em Bruxelas no ano de 1958 será possivelmente um dos exemplos mais paradigmáticos de diálogo entre a música e forma arquitectónica. A construção de superfícies derivadas da forma hiperbólica parabolóide compõem esta estrutura orquestral trabalhada com o ritmo, dinâmica, timbre e altura.
Em paralelo, Edgar Varèse elabora o Poème Electronique baseado nas linhas estruturais do Pavilhão.

Le Corbusier - Pavilhão Philips, 1958, Bruxelas

Edgar Varèse "Poème Électronique"

O compositor Iannis Xenakis, trabalha a “Concrete PH”, uma composição inspirada nas Parábolas e Hipérboles do Pavilhão Philips, utilizando como fonte sonora sons oriundos de uma fábrica de carvão, aplicando pincípios matemáticos e arquitectónicos redundando em certas alterações na densidade das massas sonoras e criando grandes fluxos de curvas frequenciais. Outra das suas composições conhecidas inspiradas no Pavilhão é “Metástasis”.

Iannis Xenakis

"Metástasis"

A Música na Arquitectura de Steven Holl

Paul Klee

Análise de uma partitura

Steven Holl

Casa Stretto, Dallas, 1989-91

A Casa Stretto, Dallas, Texas, 1989-91 inspira-se na composição musical para cordas percussão e celesta do compositor Bela Bartok. Os quatro movimentos da peça estabelecem uma distinção ente o pesado – percussão – e o leve – corda.
Do mesmo modo que a música alcança a sua materialidade através do material, som e tempo, a arquitectura da Casa Stretto irá fazê-lo através do material, luz e forma.
Este edifício está estruturado em quatro sectores, assim como a composição de Bartok, constituídos por 2 módulos: os pesados e ortogonais elementos de pedra que representam a percussão, e o leve e curvilíneo que representa as cordas.

Planta e Alçado

A casa de hóspedes, separada, apresenta uma morfologia inversa: planta curva e coberturas ortogonais, numa inversão similar à produzida no tema do 1º movimento da peça de Bartók.

Casa dos hóspedes

Planta e Alçado

Notação musical: um diálogo entre linhas e pontos

Os sistemas de notação musical padronizados na música ocidental, conheceram algumas transformações até se estabelecerem com as formas actuais. A notação mais antiga data por volta do 3º milénio a.C. sendo expressa através de símbolos e letras. Os símbolos cuneiformes da antiga mesopotâmia, evoluíram para neumas na Idade Média, escritos segundo o sentido de uma linha horizontal. Seguiu-se a representação de notas com distâncias variáveis segundo uma única linha horizontal que permitiram representar as alturas.
É com o impulso do monge beneditino Guido d’Arezzo (995 – 1050) que se estabelecem quatro linhas com notas fixadas através da notação quadrada ou romana e na notação coral alemã.
No séc. XVIII generaliza-se a pauta de 5 linhas – pentagrama - adoptando-se as notas circulares que constituem o padrão da notação ocidental.

Exemplos de notação quadrada

A evolução da grafia musical encontra actualmente a sua expressão máxima nas tecnologias digitais, através das quais as representações ganham um novo referencial espacial.
Dimitri Tymoczko cientista da Unviersidade de Princeton, EUA cria uma forma de visualização, um mapa, que representa o espaço das possibilidades musicais. Desenvolve um modelo geométrico geral, no qual qualquer acorde concebível seja representado por um ponto no espaço, ligado a outros através de linhas.
Compara a interacção de um piano com a interacção de um espaço não-euclidiano, fundamentado na ideia de que existem maneiras diferentes de tocar uma nota.